在元朝时期，其南方周边政权主要包括南宋、安南以及已经不复存在但历史上与元朝有过交集的高句丽。以下是对这三个政权的详细阐述。
一、南宋
1. 背景与建立
南宋（1127年－1279年）是中国历史上的一个朝代，与北宋合称宋朝，又称两宋。
1127年，金朝南下攻陷北宋都城东京，俘虏了宋徽宗、宋钦宗以及大量赵氏皇族、后宫妃嫔与贵卿、朝臣等共三千余人，北宋灭亡。
康王赵构于南京应天府（今河南商丘）即位，建立了南宋。
南宋初期，面临着金朝的军事威胁，政权不稳。
然而，随着宋高宗赵构南渡并稳定局势后，南宋逐渐发展成为了一个经济繁荣、文化昌盛的朝代。
2. 与元朝的关系
南宋与元朝的关系主要体现为对抗与战争。
元朝建立后，忽必烈即开始了对南宋的征服战争。
经过长期的战争，南宋最终于1279年在崖山海战中被元朝灭亡。
这场战争标志着南宋的终结和元朝对中国全境的统一。
3. 文化与经济影响
南宋时期，中国经济重心南移完成，南方经济远超北方。
南宋在农业、手工业、商业和科技等方面都取得了显着的成就。
同时，南宋文化也极为繁荣，宋词、理学、绘画等艺术形式都得到了极大的发展。
南宋的灭亡对元朝乃至后世都产生了深远的影响，其经济模式和文化传统在一定程度上被元朝所继承和发展。
二、安南
1. 背景与独立
安南（今越南北部地区）在元朝时期是一个相对独立的政权。
安南最早从中原体系中脱离是在五代十国末期，当时安南地方豪族丁部领崛起并推翻了原南汉静海军节度使吴权所建立的地方割据政权吴朝。
此后，安南开始了长达数世纪的独立国家时期。
2. 与元朝的关系
元朝时期，元军曾多次对安南发动征服战争，但均未能彻底征服该地区。
元朝在安南设立了安南宣慰司等行政机构以加强对其的控制，但实际效果有限。
安南在元朝的统治下保持了相对的独立性，并多次反抗元朝的统治。
最终，随着元朝的衰落和明朝的建立，安南重新获得了完全的独立。
3. 文化与经济影响
安南在元朝时期虽然处于相对独立的状态，但其文化和经济仍然受到了中原文明的影响。
元朝政府在安南地区推广汉语和汉字教育，促进了当地文化的发展。
同时，安南地区也积极参与了与中原地区的贸易往来，促进了经济的繁荣。
三、高句丽
1. 历史背景
高句丽（公元前1世纪至公元7世纪）是中国古代边疆政权之一，地跨今中国东北地区与朝鲜半岛北部。
高句丽政权由扶余人朱蒙于西汉建昭二年（前37年）建立于西汉玄菟郡高句丽县境内。
高句丽在历史上曾与中原王朝保持着复杂的政治关系，时而臣服时而反叛。
2. 与元朝的关系
需要注意的是，高句丽在元朝时期已经不复存在。
高句丽在公元7世纪被唐朝攻灭后，其领土和人民逐渐被中原王朝和其他地方政权所吸收和融合。
因此，元朝与高句丽之间并无直接的政治关系。
然而，元朝在统治中国全境的过程中，仍然继承了历代中原王朝对边疆地区的控制和管理传统，包括对高句丽故地的统治和管理。